Volume: Pirâmide; Cone e Esfera - 2º Ano do Ensino Médio.

Olá Queridos Alunos

Assistam com muito atenção os vídeos abaixo, façam as devidas anotações, e estudem o conteúdo da "Apostila". É de extrema importância assistir mais de uma vez aos vídeos.

Parte I:



Parte II:



Não esqueçam: DEDICAÇÃO TOTAL AOS ESTUDOS! ESSA É A ÚNICA SAÍDA PARA O SUCESSO ESCOLAR...

Deixe suas dúvidas ou comentário sobre os vídeos, ou dos exercícios da apostila.

Um Forte Abraço.

Prof Renata S

Estudo do Sinal de uma Função e Tipos de Função: Sobrejetora; Injetora e Bijetora; Composta e Inversa: 1º Ano: Ensino Médio.

Olá Queridos Alunos:


Quando estudamos funções, fazemos o estudo do "Sinal", na realidade o estudo do sinal de uma função tem como parâmetro o conjunto "Imagem" (eixo das ordenadas "y"), logo a nossa pergunta tem que ser: Para que valores Reais o "Domínio" (eixo das abscissas "x") tem uma Imagem, maior que zero ou menor que zero... Logo, precisamos fazer o estudo do sinal para responder para que valores do domínio temos uma imagem positiva ou negativa.

Agora, quando o assunto é função, podemos classificar-las, de acordo com a sua IMAGEM-CONTRA DOMÍNIO: Tipos de Funções: Sobrejetora; Injetora e Bijetora... Leiam as páginas da Aposital 25 a 27, e assistam o vídeo para ter a real compreensão do assunto.




FUNÇÃO COMPOSTO:

Função Composta, é quando o Domínio de uma Função é uma outra Função! Como assim: Temos uma função f: sendo o seu domínio a função g: Isso quer dizer que no lugar do domínio vamos colocar a função g: f(g(x)) ou (fºg)(x). Exemplo: Se f(x) = 2x - 1, e g(x) = -3x + 5, como a função g(x) e o domínio da função f(x), temos: f(g(x))= 2.g(x) -1; onde f(g(x)) = 2(-3x + 5) -1, essa é a função composta de f(g(x)). Leiam as páginas 26 a 27 da apostila e assistam o video abaixo:




FUNÇÃO INVERSA:

Função Inversa é quando o Y quer perguntar! Como assim? Quando o Y (imagem) quer pegar o lugar do Domínio X, quer dizer: Inverte-se os papéis: o y pergunta e o x responde, então na função f: substituimos as variáveis x e y: no lugar do x colocamos o y e no lugar do y colocamos o x... Assistam o vídeo, leiam com atenção as páginas 27 a 29 da apostila.



Após Estudar as páginas e assistir os vídeos, deixe o seu comentário sobre o que você entendeu ou a sua dúvida sobre os conteúdos expostos.


Um Forte Abraço.

Prof Renata S

Equação da Circunferência: 3º ano - Ensino Médio.

Equação da Circunferência:

Desde a Antiguidade alguns povos se preocupam em estudar a circunferência. Por exemplo, no papiro Rhind (texto matemático escrito por volta de 1650 a.C. pelo egípcio Ahmes), encontramos problemas envolvendo o cálculo de área e a relação entre a circunferência e o círculo de mesmo diâmetro.

Por volta de 300 a.C., o matemático grego Euclides (325-265) escreveu a obra intitulada Elementos, na qual descreve construções com régua e compasso, ou seja, usando retas e circunferências.

Mas tarde, René Descartes (1596 - 1650) contribuiu para o desenvolvimento da Geometria Analítica e o estudo das cônicas, que envolve a circunferência.





E não parou por aí. Hoje em dia, o estudo da circunferência pode ser notado em experimentos científicos, como na construção do maior acelerador de partículoas do mundo.








Acessar o link abaixo:

Parte I:


Parte II:



Após assistir o vídeo, verifique na apostila a parte Teórica da Equação da Circunferência, e de acordo com o video comprove os cálculos:

Um forte Abraço

Prof Renata Spinelli

Coeficiente Angular: Inclinação da Reta - 3º Ano do Ensino Médio.

Olá Queridos Alunos

Este site abaixo, explica toda a situação e comportamento de uma "Reta" no plano cartesiano.

http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/cap41s3.html

Abraços

Prof Renata S

"VOLUME'" - O Espaço Ocupado por um Corpo... PARA TODOS - 2º ANO: ENSINO MÉDIO.

Volume: é uma grandeza, com tamanho e corpulência em desenvolvimento; Massa quantidade.

Volumoso: é o que tem grandes dimensões em todo o sentido; que ocupa muito espaço. Conforme dicionário. Assim diz o dicionário.

Quando calculamos o volume de um corpo "aprendemos" que o volume de um corpo é o produto entre: o seu comprimento, sua largura e sua altura. Certo???? Errado!!!! Com esse conceito formulado na nossa mente concluimos que um corpo redondo não têm volume!?!?!? Por exemplo: uma esfera; um cilindro; uma pedra e uma pessoa...

Enfim, logo preciso analisar o que o dicionário diz: é uma grandeza de massa! É, a capacidade de ocupação de um corpo.

Então vamos reformular esse conceito: Para calcular o volume; precisamos saber a área de ocupação, e a sua profundida!!!! Volume de um corpo é igual ao produto entre a área base pela profundida ou altura desde corpo.











Acessar este "Site" para Estudar, Pesquisar, Analisar e Aprender:

http://www.klickeducacao.com.br/materia/20/display/0,5912,POR-20-94-971-,00.html

Faça o seu comentário, sua participação é muito importante!

Um forte Abraço.

Prof Renata Spinelli

Diagonal e Alturas: Poliedros e Figuras Planas:

Podemos observar que tanto na "Diagonal" de um Poliedro ou em uma das suas Faces; Ou, ainda pata determinar a altura de uma "Triângulo", utilizando o "Teorema de Pitágoras", que relaciona uma igualdade entre áreas: Para determinar um valor que não conhecemos precisamos estabelecer uma "Igualdade" uma "Equação", por esse motivo o "Teorema de Pitágoras" é tão importante, pois estabelecemos uma igualdade, caso seja um triângulo retângulo:

Observe a aplicação do "Teorema de Pitágoras" nas figuras abaixo:





















Estude a figuras, fórmulas e os processos de cálculo, e faça o seu comentário... Sua participação é muito importante!!??!!!

Um forte Abraço.

Prof Renata Spinelli

"O ENIGMA DAS PIRÂMIDES" - 2º ANO: ENSINO MÉDIO

Uma pirâmide é todo poliedro formado por uma face inferior e um vértice que une todas as faces laterais. As faces laterais de uma pirâmide são regiões triangulares, e o vértice que une todas as faces laterais é chamado de vértice da pirâmide. O numero de faces laterais de uma pirâmide corresponde ao número de lados do polígono da base.

Dentre as pirâmides temos como principais:

- Pirâmide Quadrada - aquela em que na base tem um quadrado.
- Pirâmide Triangular - aquela em que na base tem um triângulo.
- Pirâmide Pentagonal - aquela em que na base tem um pentágono.
- Pirâmide Quadrangular - aquela em que na base tem um quadrilátero.
- A identificação das pirâmides segue essa linha de raciocínio, ou seja, depende do formado da base da pirâmide.


Observe as Figuras Abaixo:











Altura, apótema da base e apótema da pirâmide

h: altura da pirâmide
m’: apótema da pirâmide
m: apótema da base



Pelo teorema de Pitágoras temos:
m’² = h² + m²







Área da base

A área da base de uma pirâmide depende da área do polígono em questão, sendo calculada pela expressão:




Volume

O volume de uma pirâmide é dado pela expressão:




Agora, é com você!

Observe as pirâmides, acima, identifique as suas bases poligonais. E, explique como podemos calcular o volume das mesmas, conforme a explicação da postagem.

Domínio e Imagem de uma Função: 1º Ano - Ensino Médio

Em nosso dia-a-dia estamos sempre comparando e relacionando números, grandezas e formas. Antes mesmo de contar, o homem primitivo já tinha essas noções.

- Número: diferenciava uma de muitos.
- Grandeza: diferenciava pequeno de grande.
- Forma: diferenciava redondo de retilínio. A forma redonda da Lua e a ponta retilínea de uma rocha.
Até mesmo uma criança, antes de dominar a fala, também já possui essas noções.

Basicamente, uma função é a relação entre duas coisas na qual o valor numérico de uma coisa em alguma forma depende do valor da outra:

- A temperatura diária média para a sua cidade depende,e é uma função de, da época do ano.


- A distância que um objeto caiu é uma função de quanto tempo passou desde que você o soltou;
- A área de um círculo é uma função do seu raio;
- Número de pães que vou comprar, com o preço a pagar;
- Velocidade média do automóvel, com o tempo de duração de uma viagem.

"As Características Explicativas de uma Função".

Um função tem apenas um valor de saída (output) para um valort de entrada (input).















O que é uma função?

A máquina de refrigerante é uma função porque depois de inserir os dados de entrada (sua escolha e seu dinheiro), você sabe exatamente qual é o retorno. Com a máquina caça-níqueis, por outro lado, o output é um mistério,então não é uma função.


O conjunto de todos os inputs é chamado de domínio; o conjunto de todos os outputs é é chamado de imagem.


NOTAÇÃO DE FUNÇÃO NUMÉRICA:

Com os conjuntos A={1, 4, 7} e B={1, 4, 6, 7, 8, 9, 12} criamos a função f: A —> B.definida por f(x) = x + 5 que também pode ser representada por y = x + 5. A representação, utilizando conjuntos, desta função, é:









O conjunto A é o conjunto de saída e o B é o conjunto de chegada (ignore o conjunto azul por enquanto).

Domínio é um sinônimo para conjunto de saída, ou seja, para esta função o domínio é o próprio conjunto A = {1, 4, 7}.

Como, em uma função, o conjunto de saída (domínio) deve ter todos os seus elementos relacionados (regra 2 das funções), não precisamos ter subdivisões para o domínio.

O domínio de uma função também é chamado de campo de definição ou campo de existência da função, e é representado pela letra "D".

O conjunto de chegada "B", também possui um sinônimo, é chamado de contradomínio.

Note que podemos fazer uma subdivisão dentro do contradomínio (conjunto azul da figura acima). Podemos ter elementos do contradomínio que não são relacionados com algum elemento do Domínio e outros que são. Por isso, devemos levar em consideração esta subdivisão (esta é até mais importante do que o próprio contradomínio).

Este subconjunto é chamado de conjunto imagem, e é composto por todos os elementos em que as flechas de relacionamento chegam.

O conjunto Imagem é representado por "Im", e cada ponto que a flecha chega é chamado de imagem.

*Obs.: Note que existe uma diferença entre imagem e conjunto imagem, o primeiro é um ponto em que a flecha de relacionamento toca, e o segundo é o conjunto de todos elementos que as flechas tocam.

No nosso exemplo, o domínio é D = {1, 4, 7}, o contra-domínio é = {1, 4, 6, 7, 8, 9, 12} e o conjunto imagem é Im = {6, 9, 12} e:

- a imagem do ponto x = 1 é y = 6, indicado por f(1) = 6;
- a imagem do ponto x = 4 é y = 9, indicado por f(4) = 9;
- a imagem do ponto x = 7 é y = 12, indicado por f(7) = 12.

Fonte:www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/funcoes/funcao_geral/funcoes_03_01.php

Acessar o Link "abaixo":

http://www.youtube.com/watch?v=0Sj7UFbQEVY&feature=youtu.be

Comente: O que é uma função?

Um forte abraço

Prof Renata S

A Geometria da Cidade: 2º Ano - Ensino Médio

Podemos observar o "CONE" no alto da torre da Igreja. Essa Igreja chama atenção por sua arquitetura "simétrica" no bairro da "Consolação" na cidade de São Paulo. Para atingir essa perfeição, os cálculos são precisos, mas é claro que o CONE, não chegou no alto da Igreja por acaso: Primeiro o CONE foi "PLANIFICADO"; depois calcular o seu "VOLUME", conforme as figuras abaixo:














Pela PLANIFICAÇÃO, observamos que a base do "CONE" é uma "região circular", logo para calcular a sua área usamos uma fórmula conhecida por todos: pi multiplicado pelo Raio ao Quadrado.


Teto da nova "BIBLIOTECA DE ALEXANDRIA", Cairo, Egito... A biblioteca foi reconstruida, os arquitetos e engenheiros modernos, tentaram buscar na história antiga os padrões da velha "Biblioteca Grega", a mesma onde Euclides 300 a.C; escreveu "Os Elementos" ... Essa imagem mostra o teto na nova Biblioteca com inclinação para o Mar Mediterrâneo, tem o formato de uma grande região circular (círculo). Caso, fosse necessário revestir o teto com um material isolante, precisamos saber áre total do teto, como o teto é uma região circular, usamos a mesma fórmula da base do CONE... Área de um círculo: pi multuplicado pelo RAIO ao quadrado. Não podemos esquecer que o RAIO é a metade do diâmetro.


Com uma arquitetora moderna, esses prédios (próximos aos Shopping Morumbi) chamam a atenção pelas suas faces laterais trapezóidal (trapézios), com bases retangulares esses "Poliedros" visto a uma certa distância, dá a impressão que vão cair! Entretanto, estão seguros pois suas "PLANIFICAÇÕES" e "VOLUMES" são cálculos precisos. Agora, é importante destacar que sua faces são figuras planas, formadas por linhas retas, chamadas de "Polígonos". Logo, podemos dividir em "Triângulos"

Esse prédio, com sua pequenas janelas retangulares distribuídas de modo proporcional, em cada face desse "Poliedro" ou "Bloco Retangular" ou "Paralelepípedo" com todas as suas faces retangulares, situado no Bairro do Brooklin na cidade de São Paulo, se destaca por sua altura imponente... Sua Planificação são polígonos retangulares e seu volume medido por sua "Base e Altura".

NOME: Ponte estaiada Octavio Frias de Oliveira; CONCRETO: 58 mil metros cúbicos; COMPRIMENTO: 2 800 metros nas duas pistas, cada uma tem 1400 metros; MANUTENÇÃO: escadas fixas de aço, com patamares a cada 6 metros, dão acesso ao mastro.

Ao todo, são 144 hastes que ganham formatos inusitados, dependendo de cada ângulo e da imaginação de cada paulistano. As hastes são chamadas "estais". A tecnologia dos "estais" resultou nessa estrutura de cálculos tão complexos, elaborados pelos engenheiro Catão Ribeiro. Observamos que esses triângulos são: "congruêntes" e "semelhantes", logo existem triângulos (congruentes) e proporcionais (semelhantes), formando essa belíssima estrutura.








Ainda encontramos na nossa Grande Cidade, prédios parecidos com as latas de refrigerantes, como é o caso desse prédio próximo da "Ponte do Morumbi", com seu formato "REDONDO", não está na família dos "Poliedros", entretanto também é um "Sólido Geométrico", pois possui Volume e sua sua Planificação encontramos a Razão entre a Circunferência e o Diâmetro que tem como constante o número PI...



É de extrema importância o seu comentário, então estude e participe... Sua participação tem um peso muuuito importante.

Um Forte Abraço

Prof Renata

Teorema de Pitágoras utilizando Áreas: 3ºano - Ensino Médio.

Olá Queridos Alunos:

Vamos Começar:



Sabendo que w = pi.

Metade da Área do Círculo, logo como a área do círculo é: A Área é igual à [w*(D/2)²]. Então, a área do círculo foi dividido em duas partes iguais: [w*(D/2)²]/2. Esse metade retirou da área total do quadrado uma área equivalente (congruete) a sua metade.

Portanto, como o diâmetro é igual a medida do lado do quadrado, temos: Diâmetro é igual a, e o Raio é igual a/2, onde a área do semicírculo é metade da área do círculo total:

Área do semicírculo inscrito no Quadrado de lado a: [w*(a/2)²]/2 = [w*(a²/4)]/2 = w*(a²/8).


Área do semicírculo inscrito no Quadrado de lado b >:[w*(b/2)²]/2 = [w*(b²/4)]/2 = w*(b²/8).

Área do semicírculo inscrito no Quadrado de lado c: [w*(c/2)²]/2 = [w*(c²/4)]/2 = w*(c²/8)


"A diferenças entre as Áreas".

a²-w*(a²/8) = b²-w*(b²/8) + c²-w*(c²/8)
"Tiranto o MMC entre os Denominadores:(1,8) "

(8*a²)/8-w*(a²/8) = (8*b²)/8-w*(b²/8) + (8*c²)/8-w*(c²/8)
"Como os Denominadores são Iguais, podemos simplificar-ló":

(8*a²-w*a²) = (8*b² - w*b²) + (8*c² - w*c²)
"Colocando os fatores: a², b² e c² em evidência":

a²*(8 - w) = b²*(8 - w) + c²*(8 - w)
"Agora colocando o fator (8 - w) em evidência":

a²*(8 - w) = (8 - w)*(b²+ c²)
Para Finalizar "Simplicamos toda a igualdade por (8 - w)":

a² = b²+ c²

Portanto, pela diferenta entre "Áreas" verificamos a Relação de Pitágoras.

Por favor verifiquem os cálculos, e estudem para recuperação...

Um forte Abraço.

Profª Renata Spinelli

Quadrado Perfeito: Cálculo com Raízes - 2º ano do Ensino Médio.

Olá Queridos Alunos

Segue a correção do exercício da razão entre os valores de m e n.

Atenção: Vou usar a palavra "raiz" para substituir o símbolo do "radical ao quadrado":

m = (raiz6 + raiz2)^2 = (raiz6 +raiz2)*(raiz6 + raiz 2)

O quadrado do primeiro (área do quadrado maior), mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo (duas vezes a área retangular), mais o quadrado do segundo.












Logo, o nosso cálculo fica assim:

= (raiz6)*(rai*6)+ raiz6*raiz2 + raiz2*raiz6 + (raiz2*raiz2)
= (raiz 36) + raiz12 + raiz 12 + raiz 4)
= 6 + 2*raiz 12 + 2 (fatorando o 12 = 2*2*3=2^2*3)
= 6 + 2*2*raiz 3 + 2
= 8 + 4*raiz3

n=(raiz7 - raiz3)*(raiz 7 + raiz3)
n = raiz7*raiz7 + raiz7*raiz3 - raiz3*raiz7 - raiz3*raiz3
n = raiz49 + raiz21 - raiz21 - raiz9
n = 7 - 3
n 4

Portanto, pelo Teorema da Proporcionalidade a Razão entre m/n é igual a (8+4*raiz3)/4, sendo valor incomensurável, justamente por causa da raiz de 3, ser um números irracional (infinito e não período).

Coloquei a figura do "Quadrado Perfeito" para vocês observarem a comparação: Uma área quadrada maior, duas áreas retângulas e um área menor quadrada.

Um forte Abraço

Prof Renata S

Ps.: Crinaças...Estudem, mais estudem muuuuito!

Equação Linear da Reta - 3º Ano do Ensino Médio

Olá Queridos Alunos

A equação geral da reta, nós já es tudamos do 1º ano do Ensino Médio. Entretanto, estudamos como "Função Linear" ou "Função do 1º grau" (y = ax + b), onde a é o coeficiente angular e o b e o coeficinte linear. Agora, com a "Geometria Analítica", vamos analisar e estudar o comportamento dessa reta no "Plano Cartesiano".

Segue o vídeo para "VOCÊS" assistirem...





Agora, quero ver os comentários...

Um Forte Abraço.

Prof Renata Spinelli

Conjuntos Numéricos - 1º ano - EM

"Numeração hieroglífica egípcia".


Nota: O nosso sistema de escrita numérica, também conhecida como universal, é de origem indo-arábica, ou seja, foi descoberto pelos hindus e aperfeiçoado e divulgado no Ocidente pelos árabes.

Números Indo-Arábico representados em uma reta numérica.

Definição de Conjunto:

Definimos por conjunto o agrupamento de termos com características parecidas, no caso da Matemática, os números são agrupados em conjuntos denominados numéricos. Ao longo da história da Matemática, de acordo com a necessidade de representar certas situações, o homem buscou símbolos capazes de satisfazer suas necessidades.

Os primeiros números a surgirem foram os naturais, eles tinham o objetivo de representar quantidades.

Números Naturais
N = { 0 , 1 , 2 , 3 , ... }

Com a intensificação da atividade comercial, os cálculos começaram a ser utilizados de forma intensa, novos símbolos surgiram para suprir as necessidades operatórias do momento, com isso surgiu um novo conjunto numérico: o dos números inteiros. Esse conjunto objetivava a indicação de situações de ganho e perda, com os números positivos se representava os ganhos e com os números negativos as perdas. Os números inteiros eram escritos na companhia de símbolos, os positivos recebiam o sinal de + (mais) e os negativos o sinal de – (menos).

Números Inteiros
Z = { ... , -2 , -1 , 0 , 1 , 2, ... }

Todo número natural é inteiro, isto é, N é um subconjunto de Z

O surgimento do conjunto dos números racionais se deu da necessidade de demonstrar partes de um inteiro e as divisões que obtinham resultados decimais. As dízimas periódicas também faziam parte dos números racionais.

Números Racionais

São aqueles que podem ser expressos na forma a/b, onde a e b são inteiros quaisquer, com b diferente de 0.

Q ={x/x = a/b com a e b pertencentes a Z com b diferente de 0 }

Outro conjunto muito importante é o dos irracionais, ele aborda as dízimas não periódicas, isto é, números infinitos que não formam períodos.

Números Irracionais

São aqueles que não podem ser expressos na forma a/b, com a e b inteiros e b diferente de 0.
Exemplo:

Todas as raízes não exatas fazem parte do conjunto dos números irracionais. Mas não são só elas, também estão neste conjunto o número pi (π=3,141592...), o número de Euler (e = 2,71828...), e alguns outros.

A união de todos os conjuntos numéricos originou a criação do conjunto dos números reais, responsável por representar e organizar os números em um único conjunto.

Números Reais

É a reunião do conjunto dos números irracionais com o dos racionais.
















http://www.youtube.com/watch?v=5tFrK2OFx8A Parte I - Reta Numérica (assistir)

http://www.youtube.com/watch?v=SSf3Chzbabw Parte II - Números Irracionais (assistir)


www.youtube.com/watch?v=HAkPSa4busw&feature=related - Teoria de Conjuntos - PARTE II (assistir)

www.youtube.com/watch?v=jh3CQWqOlus - Teoria de Conjunto - Parte II (assistir)

Conceitos da Geometria de "Euclides". 2º Ano - EM

"Ptolomeu uma vez perguntou a Euclides se havia um caminho mais curto, para a geometria, que o estudo de Os elementos, e Euclides lhe respondeu que não havia estrada real para a geometria".

Euclides de Alexandria.

Pouco se sabe sobre sua vida, mas pode-se dizer que morou em Alexandria e ensinou na Biblioteca na segunda metade do Século IV a. C. Sua obra mais conhecida, Os Elementos, foi escrita por volta de 320 a. C. Nessa obra Euclides apresenta o conhecimento matemático de seu tempo sob uma estrutura axiomática. Os Elementos exerceu grande influência científica e pedagógica desde a época de Euclides até o início da Idade Moderna.

São conceitos primitivos na Geometria Euclidiana:

• Ponto (indicado por letra maiúscula latina)






• Reta (indicada por letra minúscula latina)









• Plano (indicado por letra minúscula grega)

Nota: Os elementos de Euclides, são treze livros ou capítulos, dos quais os seis primeiros são sobre geometria plana elementar, os três seguintes sobre teoria dos números, o Livro X sobre incomensuráveis e os três últimos versam principalmente sobre geometria no espaço.

Euclides ao escrever seus Elementos, em 13 livros: tratava-se de material didático para o ensino de Geometria (elementar) aos iniciantes. Nenhum outro autor de livros-texto conseguiu êxito comparável a Euclides: seus Elementos são o mais antigos livros de matemática ainda em vigor nos dias de hoje, uma obra que somente perde para a Bíblia em número de edições e, para muitos, o mais influente livromatemático de todos os tempos.


Livro I. Proposição 47
O Teorema de Pitágoras
séc. XII

Agora, é com você!

Nos seis primeiros livros de Euclides, encontramos os seguintes postualdos:

1 - Traçar um reta de qualquer ponto a qualquer ponto.
2 - Prolongar uma reta finita continuamente em uma linha reta.
3 - Descrever um círculo com qualquer centro e qualquer raio.
4 - Que todos os ângulos retos são iguais.

Noções comuns:

5 - Coisas que são iguais a uma mesma coisa são também iguais entre si.
6 - Se iguais são somados a iguais, os totais são iguais.
7 - Se iguais são subtraídos de iguais, os restos são iguais.
8 - Coisas que coincidem uma com a outra são iguais uma a outra.
9 - O todo é maior que a parte.

Para Refletir: Algumas vezes uma linha é somente uma linha. Mas a mesma linha pode representar a aresta de uma pirâmide, a divisa de um campo, ou a trajetória de um corvo que voa. O conhecimento sobre uma e transferido para a outra.