"O ENIGMA DAS PIRÂMIDES" - 2º ANO: ENSINO MÉDIO

Uma pirâmide é todo poliedro formado por uma face inferior e um vértice que une todas as faces laterais. As faces laterais de uma pirâmide são regiões triangulares, e o vértice que une todas as faces laterais é chamado de vértice da pirâmide. O numero de faces laterais de uma pirâmide corresponde ao número de lados do polígono da base.

Dentre as pirâmides temos como principais:

- Pirâmide Quadrada - aquela em que na base tem um quadrado.
- Pirâmide Triangular - aquela em que na base tem um triângulo.
- Pirâmide Pentagonal - aquela em que na base tem um pentágono.
- Pirâmide Quadrangular - aquela em que na base tem um quadrilátero.
- A identificação das pirâmides segue essa linha de raciocínio, ou seja, depende do formado da base da pirâmide.


Observe as Figuras Abaixo:











Altura, apótema da base e apótema da pirâmide

h: altura da pirâmide
m’: apótema da pirâmide
m: apótema da base



Pelo teorema de Pitágoras temos:
m’² = h² + m²







Área da base

A área da base de uma pirâmide depende da área do polígono em questão, sendo calculada pela expressão:




Volume

O volume de uma pirâmide é dado pela expressão:




Agora, é com você!

Observe as pirâmides, acima, identifique as suas bases poligonais. E, explique como podemos calcular o volume das mesmas, conforme a explicação da postagem.

Domínio e Imagem de uma Função: 1º Ano - Ensino Médio

Em nosso dia-a-dia estamos sempre comparando e relacionando números, grandezas e formas. Antes mesmo de contar, o homem primitivo já tinha essas noções.

- Número: diferenciava uma de muitos.
- Grandeza: diferenciava pequeno de grande.
- Forma: diferenciava redondo de retilínio. A forma redonda da Lua e a ponta retilínea de uma rocha.
Até mesmo uma criança, antes de dominar a fala, também já possui essas noções.

Basicamente, uma função é a relação entre duas coisas na qual o valor numérico de uma coisa em alguma forma depende do valor da outra:

- A temperatura diária média para a sua cidade depende,e é uma função de, da época do ano.


- A distância que um objeto caiu é uma função de quanto tempo passou desde que você o soltou;
- A área de um círculo é uma função do seu raio;
- Número de pães que vou comprar, com o preço a pagar;
- Velocidade média do automóvel, com o tempo de duração de uma viagem.

"As Características Explicativas de uma Função".

Um função tem apenas um valor de saída (output) para um valort de entrada (input).















O que é uma função?

A máquina de refrigerante é uma função porque depois de inserir os dados de entrada (sua escolha e seu dinheiro), você sabe exatamente qual é o retorno. Com a máquina caça-níqueis, por outro lado, o output é um mistério,então não é uma função.


O conjunto de todos os inputs é chamado de domínio; o conjunto de todos os outputs é é chamado de imagem.


NOTAÇÃO DE FUNÇÃO NUMÉRICA:

Com os conjuntos A={1, 4, 7} e B={1, 4, 6, 7, 8, 9, 12} criamos a função f: A —> B.definida por f(x) = x + 5 que também pode ser representada por y = x + 5. A representação, utilizando conjuntos, desta função, é:









O conjunto A é o conjunto de saída e o B é o conjunto de chegada (ignore o conjunto azul por enquanto).

Domínio é um sinônimo para conjunto de saída, ou seja, para esta função o domínio é o próprio conjunto A = {1, 4, 7}.

Como, em uma função, o conjunto de saída (domínio) deve ter todos os seus elementos relacionados (regra 2 das funções), não precisamos ter subdivisões para o domínio.

O domínio de uma função também é chamado de campo de definição ou campo de existência da função, e é representado pela letra "D".

O conjunto de chegada "B", também possui um sinônimo, é chamado de contradomínio.

Note que podemos fazer uma subdivisão dentro do contradomínio (conjunto azul da figura acima). Podemos ter elementos do contradomínio que não são relacionados com algum elemento do Domínio e outros que são. Por isso, devemos levar em consideração esta subdivisão (esta é até mais importante do que o próprio contradomínio).

Este subconjunto é chamado de conjunto imagem, e é composto por todos os elementos em que as flechas de relacionamento chegam.

O conjunto Imagem é representado por "Im", e cada ponto que a flecha chega é chamado de imagem.

*Obs.: Note que existe uma diferença entre imagem e conjunto imagem, o primeiro é um ponto em que a flecha de relacionamento toca, e o segundo é o conjunto de todos elementos que as flechas tocam.

No nosso exemplo, o domínio é D = {1, 4, 7}, o contra-domínio é = {1, 4, 6, 7, 8, 9, 12} e o conjunto imagem é Im = {6, 9, 12} e:

- a imagem do ponto x = 1 é y = 6, indicado por f(1) = 6;
- a imagem do ponto x = 4 é y = 9, indicado por f(4) = 9;
- a imagem do ponto x = 7 é y = 12, indicado por f(7) = 12.

Fonte:www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/funcoes/funcao_geral/funcoes_03_01.php

Acessar o Link "abaixo":

http://www.youtube.com/watch?v=0Sj7UFbQEVY&feature=youtu.be

Comente: O que é uma função?

Um forte abraço

Prof Renata S

A Geometria da Cidade: 2º Ano - Ensino Médio

Podemos observar o "CONE" no alto da torre da Igreja. Essa Igreja chama atenção por sua arquitetura "simétrica" no bairro da "Consolação" na cidade de São Paulo. Para atingir essa perfeição, os cálculos são precisos, mas é claro que o CONE, não chegou no alto da Igreja por acaso: Primeiro o CONE foi "PLANIFICADO"; depois calcular o seu "VOLUME", conforme as figuras abaixo:














Pela PLANIFICAÇÃO, observamos que a base do "CONE" é uma "região circular", logo para calcular a sua área usamos uma fórmula conhecida por todos: pi multiplicado pelo Raio ao Quadrado.


Teto da nova "BIBLIOTECA DE ALEXANDRIA", Cairo, Egito... A biblioteca foi reconstruida, os arquitetos e engenheiros modernos, tentaram buscar na história antiga os padrões da velha "Biblioteca Grega", a mesma onde Euclides 300 a.C; escreveu "Os Elementos" ... Essa imagem mostra o teto na nova Biblioteca com inclinação para o Mar Mediterrâneo, tem o formato de uma grande região circular (círculo). Caso, fosse necessário revestir o teto com um material isolante, precisamos saber áre total do teto, como o teto é uma região circular, usamos a mesma fórmula da base do CONE... Área de um círculo: pi multuplicado pelo RAIO ao quadrado. Não podemos esquecer que o RAIO é a metade do diâmetro.


Com uma arquitetora moderna, esses prédios (próximos aos Shopping Morumbi) chamam a atenção pelas suas faces laterais trapezóidal (trapézios), com bases retangulares esses "Poliedros" visto a uma certa distância, dá a impressão que vão cair! Entretanto, estão seguros pois suas "PLANIFICAÇÕES" e "VOLUMES" são cálculos precisos. Agora, é importante destacar que sua faces são figuras planas, formadas por linhas retas, chamadas de "Polígonos". Logo, podemos dividir em "Triângulos"

Esse prédio, com sua pequenas janelas retangulares distribuídas de modo proporcional, em cada face desse "Poliedro" ou "Bloco Retangular" ou "Paralelepípedo" com todas as suas faces retangulares, situado no Bairro do Brooklin na cidade de São Paulo, se destaca por sua altura imponente... Sua Planificação são polígonos retangulares e seu volume medido por sua "Base e Altura".

NOME: Ponte estaiada Octavio Frias de Oliveira; CONCRETO: 58 mil metros cúbicos; COMPRIMENTO: 2 800 metros nas duas pistas, cada uma tem 1400 metros; MANUTENÇÃO: escadas fixas de aço, com patamares a cada 6 metros, dão acesso ao mastro.

Ao todo, são 144 hastes que ganham formatos inusitados, dependendo de cada ângulo e da imaginação de cada paulistano. As hastes são chamadas "estais". A tecnologia dos "estais" resultou nessa estrutura de cálculos tão complexos, elaborados pelos engenheiro Catão Ribeiro. Observamos que esses triângulos são: "congruêntes" e "semelhantes", logo existem triângulos (congruentes) e proporcionais (semelhantes), formando essa belíssima estrutura.








Ainda encontramos na nossa Grande Cidade, prédios parecidos com as latas de refrigerantes, como é o caso desse prédio próximo da "Ponte do Morumbi", com seu formato "REDONDO", não está na família dos "Poliedros", entretanto também é um "Sólido Geométrico", pois possui Volume e sua sua Planificação encontramos a Razão entre a Circunferência e o Diâmetro que tem como constante o número PI...



É de extrema importância o seu comentário, então estude e participe... Sua participação tem um peso muuuito importante.

Um Forte Abraço

Prof Renata

Teorema de Pitágoras utilizando Áreas: 3ºano - Ensino Médio.

Olá Queridos Alunos:

Vamos Começar:



Sabendo que w = pi.

Metade da Área do Círculo, logo como a área do círculo é: A Área é igual à [w*(D/2)²]. Então, a área do círculo foi dividido em duas partes iguais: [w*(D/2)²]/2. Esse metade retirou da área total do quadrado uma área equivalente (congruete) a sua metade.

Portanto, como o diâmetro é igual a medida do lado do quadrado, temos: Diâmetro é igual a, e o Raio é igual a/2, onde a área do semicírculo é metade da área do círculo total:

Área do semicírculo inscrito no Quadrado de lado a: [w*(a/2)²]/2 = [w*(a²/4)]/2 = w*(a²/8).


Área do semicírculo inscrito no Quadrado de lado b >:[w*(b/2)²]/2 = [w*(b²/4)]/2 = w*(b²/8).

Área do semicírculo inscrito no Quadrado de lado c: [w*(c/2)²]/2 = [w*(c²/4)]/2 = w*(c²/8)


"A diferenças entre as Áreas".

a²-w*(a²/8) = b²-w*(b²/8) + c²-w*(c²/8)
"Tiranto o MMC entre os Denominadores:(1,8) "

(8*a²)/8-w*(a²/8) = (8*b²)/8-w*(b²/8) + (8*c²)/8-w*(c²/8)
"Como os Denominadores são Iguais, podemos simplificar-ló":

(8*a²-w*a²) = (8*b² - w*b²) + (8*c² - w*c²)
"Colocando os fatores: a², b² e c² em evidência":

a²*(8 - w) = b²*(8 - w) + c²*(8 - w)
"Agora colocando o fator (8 - w) em evidência":

a²*(8 - w) = (8 - w)*(b²+ c²)
Para Finalizar "Simplicamos toda a igualdade por (8 - w)":

a² = b²+ c²

Portanto, pela diferenta entre "Áreas" verificamos a Relação de Pitágoras.

Por favor verifiquem os cálculos, e estudem para recuperação...

Um forte Abraço.

Profª Renata Spinelli

Quadrado Perfeito: Cálculo com Raízes - 2º ano do Ensino Médio.

Olá Queridos Alunos

Segue a correção do exercício da razão entre os valores de m e n.

Atenção: Vou usar a palavra "raiz" para substituir o símbolo do "radical ao quadrado":

m = (raiz6 + raiz2)^2 = (raiz6 +raiz2)*(raiz6 + raiz 2)

O quadrado do primeiro (área do quadrado maior), mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo (duas vezes a área retangular), mais o quadrado do segundo.












Logo, o nosso cálculo fica assim:

= (raiz6)*(rai*6)+ raiz6*raiz2 + raiz2*raiz6 + (raiz2*raiz2)
= (raiz 36) + raiz12 + raiz 12 + raiz 4)
= 6 + 2*raiz 12 + 2 (fatorando o 12 = 2*2*3=2^2*3)
= 6 + 2*2*raiz 3 + 2
= 8 + 4*raiz3

n=(raiz7 - raiz3)*(raiz 7 + raiz3)
n = raiz7*raiz7 + raiz7*raiz3 - raiz3*raiz7 - raiz3*raiz3
n = raiz49 + raiz21 - raiz21 - raiz9
n = 7 - 3
n 4

Portanto, pelo Teorema da Proporcionalidade a Razão entre m/n é igual a (8+4*raiz3)/4, sendo valor incomensurável, justamente por causa da raiz de 3, ser um números irracional (infinito e não período).

Coloquei a figura do "Quadrado Perfeito" para vocês observarem a comparação: Uma área quadrada maior, duas áreas retângulas e um área menor quadrada.

Um forte Abraço

Prof Renata S

Ps.: Crinaças...Estudem, mais estudem muuuuito!

Equação Linear da Reta - 3º Ano do Ensino Médio

Olá Queridos Alunos

A equação geral da reta, nós já es tudamos do 1º ano do Ensino Médio. Entretanto, estudamos como "Função Linear" ou "Função do 1º grau" (y = ax + b), onde a é o coeficiente angular e o b e o coeficinte linear. Agora, com a "Geometria Analítica", vamos analisar e estudar o comportamento dessa reta no "Plano Cartesiano".

Segue o vídeo para "VOCÊS" assistirem...





Agora, quero ver os comentários...

Um Forte Abraço.

Prof Renata Spinelli

Conjuntos Numéricos - 1º ano - EM

"Numeração hieroglífica egípcia".


Nota: O nosso sistema de escrita numérica, também conhecida como universal, é de origem indo-arábica, ou seja, foi descoberto pelos hindus e aperfeiçoado e divulgado no Ocidente pelos árabes.

Números Indo-Arábico representados em uma reta numérica.

Definição de Conjunto:

Definimos por conjunto o agrupamento de termos com características parecidas, no caso da Matemática, os números são agrupados em conjuntos denominados numéricos. Ao longo da história da Matemática, de acordo com a necessidade de representar certas situações, o homem buscou símbolos capazes de satisfazer suas necessidades.

Os primeiros números a surgirem foram os naturais, eles tinham o objetivo de representar quantidades.

Números Naturais
N = { 0 , 1 , 2 , 3 , ... }

Com a intensificação da atividade comercial, os cálculos começaram a ser utilizados de forma intensa, novos símbolos surgiram para suprir as necessidades operatórias do momento, com isso surgiu um novo conjunto numérico: o dos números inteiros. Esse conjunto objetivava a indicação de situações de ganho e perda, com os números positivos se representava os ganhos e com os números negativos as perdas. Os números inteiros eram escritos na companhia de símbolos, os positivos recebiam o sinal de + (mais) e os negativos o sinal de – (menos).

Números Inteiros
Z = { ... , -2 , -1 , 0 , 1 , 2, ... }

Todo número natural é inteiro, isto é, N é um subconjunto de Z

O surgimento do conjunto dos números racionais se deu da necessidade de demonstrar partes de um inteiro e as divisões que obtinham resultados decimais. As dízimas periódicas também faziam parte dos números racionais.

Números Racionais

São aqueles que podem ser expressos na forma a/b, onde a e b são inteiros quaisquer, com b diferente de 0.

Q ={x/x = a/b com a e b pertencentes a Z com b diferente de 0 }

Outro conjunto muito importante é o dos irracionais, ele aborda as dízimas não periódicas, isto é, números infinitos que não formam períodos.

Números Irracionais

São aqueles que não podem ser expressos na forma a/b, com a e b inteiros e b diferente de 0.
Exemplo:

Todas as raízes não exatas fazem parte do conjunto dos números irracionais. Mas não são só elas, também estão neste conjunto o número pi (π=3,141592...), o número de Euler (e = 2,71828...), e alguns outros.

A união de todos os conjuntos numéricos originou a criação do conjunto dos números reais, responsável por representar e organizar os números em um único conjunto.

Números Reais

É a reunião do conjunto dos números irracionais com o dos racionais.
















http://www.youtube.com/watch?v=5tFrK2OFx8A Parte I - Reta Numérica (assistir)

http://www.youtube.com/watch?v=SSf3Chzbabw Parte II - Números Irracionais (assistir)


www.youtube.com/watch?v=HAkPSa4busw&feature=related - Teoria de Conjuntos - PARTE II (assistir)

www.youtube.com/watch?v=jh3CQWqOlus - Teoria de Conjunto - Parte II (assistir)

Conceitos da Geometria de "Euclides". 2º Ano - EM

"Ptolomeu uma vez perguntou a Euclides se havia um caminho mais curto, para a geometria, que o estudo de Os elementos, e Euclides lhe respondeu que não havia estrada real para a geometria".

Euclides de Alexandria.

Pouco se sabe sobre sua vida, mas pode-se dizer que morou em Alexandria e ensinou na Biblioteca na segunda metade do Século IV a. C. Sua obra mais conhecida, Os Elementos, foi escrita por volta de 320 a. C. Nessa obra Euclides apresenta o conhecimento matemático de seu tempo sob uma estrutura axiomática. Os Elementos exerceu grande influência científica e pedagógica desde a época de Euclides até o início da Idade Moderna.

São conceitos primitivos na Geometria Euclidiana:

• Ponto (indicado por letra maiúscula latina)






• Reta (indicada por letra minúscula latina)









• Plano (indicado por letra minúscula grega)

Nota: Os elementos de Euclides, são treze livros ou capítulos, dos quais os seis primeiros são sobre geometria plana elementar, os três seguintes sobre teoria dos números, o Livro X sobre incomensuráveis e os três últimos versam principalmente sobre geometria no espaço.

Euclides ao escrever seus Elementos, em 13 livros: tratava-se de material didático para o ensino de Geometria (elementar) aos iniciantes. Nenhum outro autor de livros-texto conseguiu êxito comparável a Euclides: seus Elementos são o mais antigos livros de matemática ainda em vigor nos dias de hoje, uma obra que somente perde para a Bíblia em número de edições e, para muitos, o mais influente livromatemático de todos os tempos.


Livro I. Proposição 47
O Teorema de Pitágoras
séc. XII

Agora, é com você!

Nos seis primeiros livros de Euclides, encontramos os seguintes postualdos:

1 - Traçar um reta de qualquer ponto a qualquer ponto.
2 - Prolongar uma reta finita continuamente em uma linha reta.
3 - Descrever um círculo com qualquer centro e qualquer raio.
4 - Que todos os ângulos retos são iguais.

Noções comuns:

5 - Coisas que são iguais a uma mesma coisa são também iguais entre si.
6 - Se iguais são somados a iguais, os totais são iguais.
7 - Se iguais são subtraídos de iguais, os restos são iguais.
8 - Coisas que coincidem uma com a outra são iguais uma a outra.
9 - O todo é maior que a parte.

Para Refletir: Algumas vezes uma linha é somente uma linha. Mas a mesma linha pode representar a aresta de uma pirâmide, a divisa de um campo, ou a trajetória de um corvo que voa. O conhecimento sobre uma e transferido para a outra.

Conceito de Números: Primos "Parentes": 1º Ano - EM

Núnmeros Irracionais.

A história dos números reais não é recente, eles foram surgindo ao longo de inúmeras descobertas Matemáticas, um dos primeiros irracionais está diretamente ligado ao Teorema de Pitágoras, o número √2 (raiz quadrada de dois) surge da aplicação da relação de Pitágoras no triângulo retângulo com catetos medindo 1 (uma) unidade.



Nessa época, o conhecimento permitia extrair somente a raiz de números que possuíam quadrados inteiros, por exemplo, 4 elevado ao expoente 2 = 16, portando √16 = 4 e no caso de √2 não existia um número que, elevado ao quadrado, resultasse 2.

Fatoração com os Números Primos:

Um número natural é um número primo quando ele tem exatamente dois divisores: o número um e ele mesmo.

Existem infinitos números primos, como demonstrado por Euclides por volta de 300 a.C..

A propriedade de ser um primo é chamada "primalidade", e a palavra "primo" também é utilizada como substantivo ou adjetivo. Como "dois" é o único número primo par, o termo "primo ímpar" refere-se a todo primo maior do que dois.

Se um número inteiro tem módulo maior que um e não é primo, diz-se que é composto. Por convenção, os números 0, 1 e -1 não são considerados primos nem compostos.

O CRIVO DE ERATÓSTENES

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Eratóstenes (276-194 a.C.), viveu no séc III a.C, foi diretor da famosa Biblioteca de Alexandria, e elaborou um método para a determinação de números primos, o qual é conhecido como o "Crivo de Eratóstenes".

Por exemplo, para determinar os números primos menores que 100, o primeiro passo é listar, em ordem crescente, todos os números naturais de 2 até 100.

Em seguida, retiramos todos os números maiores que 2 e múltiplos de 2 (4, 6, 8, ...), os quais não são primos, porque são números pares.

Os próximos números a serem retirados são os múltiplos de 3 maiores que 3 (9,15,21,..); os quais também não são primos, pois são divisíveis por 3.

Continuando, retiramos os múltiplos de 5 maiores que 5 e, finalmente, os múltiplos de 7 maiores que 7.

Os números que restarem são todos os números primos menores do que 100, isto é,



Note-se, que não é necessário retirar os múltiplos de 11, uma vez que que o primeiro múltiplo de 11 a ser retirado seria o número 11.11 = 121, o qual é maior que 100.

Em linhas gerais, quando utilizamos o crivo de Eratóstenes para encontrar todos os números primos menores que um número natural n, retiramos somente os números múltiplos dos primos.

Os 100 primeiros números primos positivos são:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547...

René Descartes - Geometria Analítica.

31 de março de 1596, França - 11 de fevereiro de 1650, em Estocolmo, Suécia

René Descartes, foi um filósofo cuja obra, La Géometre, inclui a aplicação da álgebra à geometria, o que originou a Geometria Cartesiana.

René Descartes deve ser considerado um gênio da Matemática, pois relacionou a Álgebra com a Geometria, o resultado desse estudo foi a criação do Plano Cartesiano.
Essa fusão resultou na Geometria Analítica.

Descartes obteve grande destaque nos ramos da Filosofia e da Física, sendo considerado peça fundamental na Revolução Científica, por várias vezes foi chamado de pai da Matemática moderna. Ele defendia que a Matemática dispunha de conhecimentos técnicos para a evolução de qualquer área de conhecimento.

Descartes foi educado no colégio Jesuíta de La Flèche, em Anjou, que frequentou dos oito aos dezesseis anos. Lá ele aprendeu lógica, filosofia aristotélica tradicional e matemática. Um fato curioso que teve início nesta época foi que, devido à sua saúde frágil, era permitido ao jovem Descartes permanecer na cama até onze horas da manhã. E ele manteve este hábito até o dia de sua morte.

Ainda na escola, René lançou as bases do trabalho de sua vida. Ele percebeu como eram pequenos os seus conhecimentos e que a matemática era a única matéria que o atraía. Essa idéia foi o fundamento do seu modo de pensar.

Em 1649, a rainha Christina da Suécia persuadiu Descartes a se mudar para Estocolmo. Como a rainha queria desenhar tangentes às cinco da manhã todos os dias, ele abandonou seu hábito de acordar tarde. Após alguns meses andando pelo palácio nas madrugadas frias da capital sueca, Descartes morreu de pneumonia.

PLANO CARTESIANO:

Criado por René Descartes, o plano cartesiano consiste em dois eixos perpendiculares, sendo o horizontal chamado de eixo das abscissas e o vertical de eixo das ordenadas. O plano cartesiano foi desenvolvido por Descartes no intuito de localizar pontos num determinado espaço. As disposições dos eixos no plano formam quatro quadrantes, mostrados na figura a seguir:



O encontro dos eixos é chamado de origem. Cada ponto do plano cartesiano é formado por um par ordenado (x , y ), onde x: abscissa e y: ordenada.

Distância entre dois pontos do plano cartesiano

1 - Relação de Pitágoras

Num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa a é igual à soma dos quadrados dos catetos b e c.











2 - Distância entre dois pontos:

Observe os pontos A e B no plano cartesiano, iremos estabelecer através de métodos algébricos uma fórmula geral para calcular a distância entre pontos,utiliza-se o Teorema de Pitágoras.













Ao analisarmos a construção acima, podemos observar o triângulo retângulo ABC, sendo que a distância entre os pontos A e B nada mais é que a hipotenusa do triângulo. Sabemos que o triângulo retângulo admite a relação de Pitágoras hip² = cat² + cat².
Ao aplicarmos Pitágoras teremos a seguinte situação:

Cateto: segmento AC (xB – xA)
Cateto: segmento BC (yB – yA)

Hipotenusa: segmento AB (distância entre os pontos)

d²AB = (xB – xA)² + (yB – yA)²






3 - Ponto Médio de um Segmento e Condição de alinhamento de três pontos

Dados os pontos A e B vamos analisar a ilustração abaixo e demonstrar o ponto médio entre eles, sugerindo uma fórmula geral para esse tipo de cálculo.



Podemos notar que no eixo x a distância entre xA:xM e xM:xB são iguais e no eixo y a distância entre yA:yM e yM:yB são iguais.













Podemos concluir que:






Exemplo 1
Os pontos possuem as seguintes coordenadas no plano cartesiano: A(4,6) e B(3,1). Calcule a distância entre esses pontos.



A distância entre A e B corresponde a √26 unidades.

Atenção: Vejam como fica "Fácil" Calcular o Valor parcial de um número "Incomensurável". Utilizando o "Quadrado Perfeito" - Produto Notável.

Estava lendo um artigo da RPM (Revista do Professor de Matemática), quando me deparei com uma nova maneira de calcular raizes quadradas, utilizando a ideia de produto notável.

Apresentamos um método "Utiliznado o Quadrado Perfeito" observe o exemplo:




Seja 4 uma primeira aproximação de QUAIZ QUADRADA DE 7. Temos

Transformando 33/8 em decimal- chegamos no valor aproximada de: 4,125, para raiz quadrada de 7.

Agora, se quisermos aproximar ainda mais, fazemos o mesmo processo. Utilizando a segunda aproximação da RAIZ QUADRADA DE 7 - 33/8...

Ficando assim...


Obtivemos assim uma terceira aproximação...

Fonte: RPM 62 - página 29.

A importância do Zero!!!!!... O Nada é Tudo!.

O Recruta Zero.

O ZERO

O sábio mais sábio do mundo foi o que descobriu o nada. Nada mesmo. Ele teve a ideia genial de que onde não há nada,nadinha mesmo,há o nada. E fez do nada um algarismo, o zero. A ciência seria impossível sem a Matemática e a Matemática mais impossível ainda sem o zero. É difícil imaginar como a humanidade pôde atravessar tantos milênios, produzindo muitos homens sábios, que não sabiam a verdadeira matemática, ou não tinham instrumentos para criar uma.

É certo que os egípcios sabiam fazer, com seus astrólogos, muitos cálculos astronômicos. Os gregos eram filósofos,que ainda nos espantam por sua inteligência. Os romanos nos legaram leis que funcionam até hoje, coordenando relações entre as pessoas.
Mais a nenhum deles ocorreu essa ideia fundamental de que onde não há nada, algo existe: o nada. Se você fizer um número que vá daqui até a Lua, ele ainda não será o maior número do mundo. Pondo mais um zero,ele se multiplica por dez, e vai por ai afora. Parece brincadeira, não é?

"Queridos alunos":

Os desafios existem, e são importântes para o nosso crescimento.

Acredito, em vocês!

Profª Renata

Trabalho "Geometria Analítica" - 3º ANO - CADI

Ptolomeu uma vez perguntou a Euclides se havia um caminho mais curto, para a geometria, que o estudo de "Os elementos", e Euclides lhe respondeu que não havia estrada real para a geometria...

Agora, quando somamos geometria mais a álgebra, o resultado é: Geometria Analítica.


Fiquei muito feliz com o resultado dos CLIP's! Vocês estão de Parabéns...


Abraços Virtuais Profª Renata

Ps.: Logo, logo tem +...


Grupo: "Agora" - Rodrigo; Noemi; Daphnne; Milena - com participação do Bruno...



Grupo:"Festa da Geometria" - Marco; Michele; Dyana; Tatiane e Elaine...



Grupo: Ramones-Spiderman...

Bhaskara, levou a fama! - 1º ANO - EM

O hábito de dar o nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação do segundo grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costume, aparentemente só brasileiro (não se encontra o nome de Bhaskara para essa fórmula na literatura internacional), não é adequado pois:

Problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam, há quase quatro mil anos atrás, em textos escritos pelos bablilônios. Nesses textos o que se tinha era uma receita (escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensinava como proceder para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos.



Bhaskara que nasceu na Índia em 1114 e viveu até cerca de 1185 foi um dos mais importantes matemáticos do século 12. Os livros mais famosos são: Lilavati (sobre aritmética e álgebra), em homenagem a sua filha, e Vijaganita (extração de raízes), esses livros contém numerosos problemas sobre equações lineares e quadráticas (resolvidas também como receitas em prosa), progressões aritméticas e geométricas, radicais, tríadas pitagóricas entre outros.

Até o fim do século 16 não se usava uma fórmula para obter as raízes de uma equação do segundo grau, simplismente porque não se representavam por letras os coeficientes de uma equação. Isso começou a ser feito a partir de François Viète, matemático franes que viveu de 1540 a 1603.

Logo, embora não se deve negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara, não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação do 2º grau.

Você sabia disso?

"PIRÂMIDES" - 2º ANO - PARA TODOS

Uma pirâmide é todo poliedro formado por uma face inferior e um vértice que une todas as faces laterais. As faces laterais de uma pirâmide são regiões triangulares, e o vértice que une todas as faces laterais é chamado de vértice da pirâmide. O numero de faces laterais de uma pirâmide corresponde ao número de lados do polígono da base.

Dentre as pirâmides temos como principais:

- Pirâmide Quadrada - aquela em que na base tem um quadrado.
- Pirâmide Triangular - aquela em que na base tem um triângulo.
- Pirâmide Pentagonal - aquela em que na base tem um pentágono.
- Pirâmide Quadrangular - aquela em que na base tem um quadrilátero.
- A identificação das pirâmides segue essa linha de raciocínio, ou seja, depende do formado da base da pirâmide.

Altura, apótema da base e apótema da pirâmide

h: altura da pirâmide
m’: apótema da pirâmide
m: apótema da base



Pelo teorema de Pitágoras temos:
m’² = h² + m²







Área da base

A área da base de uma pirâmide depende da área do polígono em questão, sendo calculada pela expressão:




Volume

O volume de uma pirâmide é dado pela expressão:




Agora, é com você!

Observe as pirâmides, acima, identifique as suas bases poligonais. E, explique como podemos calcular o volume das mesmas, conforme a explicação da postagem.