segunda-feira, 26 de março de 2012

Equação da Circunferência: 3º ano - Ensino Médio.


Equação da Circunferência:

Desde a Antiguidade alguns povos se preocupam em estudar a circunferência. Por exemplo, no papiro Rhind (texto matemático escrito por volta de 1650 a.C. pelo egípcio Ahmes), encontramos problemas envolvendo o cálculo de área e a relação entre a circunferência e o círculo de mesmo diâmetro.

Por volta de 300 a.C., o matemático grego Euclides (325-265) escreveu a obra intitulada Elementos, na qual descreve construções com régua e compasso, ou seja, usando retas e circunferências.

Mas tarde, René Descartes (1596 - 1650) contribuiu para o desenvolvimento da Geometria Analítica e o estudo das cônicas, que envolve a circunferência.





E não parou por aí. Hoje em dia, o estudo da circunferência pode ser notado em experimentos científicos, como na construção do maior acelerador de partículoas do mundo.








Acessar o link abaixo:

Parte I:


Parte II:



Após assistir o vídeo, verifique na apostila a parte Teórica da Equação da Circunferência, e de acordo com o video comprove os cálculos:

Um forte Abraço

Prof Renata Spinelli

segunda-feira, 12 de março de 2012

domingo, 11 de março de 2012

"VOLUME'" - O Espaço Ocupado por um Corpo... PARA TODOS - 2º ANO: ENSINO MÉDIO.



Volume: é uma grandeza, com tamanho e corpulência em desenvolvimento; Massa quantidade.

Volumoso: é o que tem grandes dimensões em todo o sentido; que ocupa muito espaço. Conforme dicionário. Assim diz o dicionário.

Quando calculamos o volume de um corpo "aprendemos" que o volume de um corpo é o produto entre: o seu comprimento, sua largura e sua altura. Certo???? Errado!!!! Com esse conceito formulado na nossa mente concluimos que um corpo redondo não têm volume!?!?!? Por exemplo: uma esfera; um cilindro; uma pedra e uma pessoa...

Enfim, logo preciso analisar o que o dicionário diz: é uma grandeza de massa! É, a capacidade de ocupação de um corpo.

Então vamos reformular esse conceito: Para calcular o volume; precisamos saber a área de ocupação, e a sua profundida!!!! Volume de um corpo é igual ao produto entre a área base pela profundida ou altura desde corpo.











Acessar este "Site" para Estudar, Pesquisar, Analisar e Aprender:

http://www.klickeducacao.com.br/materia/20/display/0,5912,POR-20-94-971-,00.html

Faça o seu comentário, sua participação é muito importante!

Um forte Abraço.

Prof Renata Spinelli

Diagonal e Alturas: Poliedros e Figuras Planas:

Podemos observar que tanto na "Diagonal" de um Poliedro ou em uma das suas Faces; Ou, ainda pata determinar a altura de uma "Triângulo", utilizando o "Teorema de Pitágoras", que relaciona uma igualdade entre áreas: Para determinar um valor que não conhecemos precisamos estabelecer uma "Igualdade" uma "Equação", por esse motivo o "Teorema de Pitágoras" é tão importante, pois estabelecemos uma igualdade, caso seja um triângulo retângulo:

Observe a aplicação do "Teorema de Pitágoras" nas figuras abaixo:





















Estude a figuras, fórmulas e os processos de cálculo, e faça o seu comentário... Sua participação é muito importante!!??!!!

Um forte Abraço.

Prof Renata Spinelli

"O ENIGMA DAS PIRÂMIDES" - 2º ANO: ENSINO MÉDIO


Uma pirâmide é todo poliedro formado por uma face inferior e um vértice que une todas as faces laterais. As faces laterais de uma pirâmide são regiões triangulares, e o vértice que une todas as faces laterais é chamado de vértice da pirâmide. O numero de faces laterais de uma pirâmide corresponde ao número de lados do polígono da base.

Dentre as pirâmides temos como principais:

- Pirâmide Quadrada - aquela em que na base tem um quadrado.
- Pirâmide Triangular - aquela em que na base tem um triângulo.
- Pirâmide Pentagonal - aquela em que na base tem um pentágono.
- Pirâmide Quadrangular - aquela em que na base tem um quadrilátero.
- A identificação das pirâmides segue essa linha de raciocínio, ou seja, depende do formado da base da pirâmide.


Observe as Figuras Abaixo:











Altura, apótema da base e apótema da pirâmide

h: altura da pirâmide
m’: apótema da pirâmide
m: apótema da base



Pelo teorema de Pitágoras temos:
m’² = h² + m²







Área da base

A área da base de uma pirâmide depende da área do polígono em questão, sendo calculada pela expressão:




Volume

O volume de uma pirâmide é dado pela expressão:




Agora, é com você!

Observe as pirâmides, acima, identifique as suas bases poligonais. E, explique como podemos calcular o volume das mesmas, conforme a explicação da postagem.

sexta-feira, 9 de março de 2012

Domínio e Imagem de uma Função: 1º Ano - Ensino Médio

Em nosso dia-a-dia estamos sempre comparando e relacionando números, grandezas e formas. Antes mesmo de contar, o homem primitivo já tinha essas noções.

- Número: diferenciava uma de muitos.
- Grandeza: diferenciava pequeno de grande.
- Forma: diferenciava redondo de retilínio. A forma redonda da Lua e a ponta retilínea de uma rocha.
Até mesmo uma criança, antes de dominar a fala, também já possui essas noções.

Basicamente, uma função é a relação entre duas coisas na qual o valor numérico de uma coisa em alguma forma depende do valor da outra:

- A temperatura diária média para a sua cidade depende,e é uma função de, da época do ano.


- A distância que um objeto caiu é uma função de quanto tempo passou desde que você o soltou;
- A área de um círculo é uma função do seu raio;
- Número de pães que vou comprar, com o preço a pagar;
- Velocidade média do automóvel, com o tempo de duração de uma viagem.

"As Características Explicativas de uma Função".

Um função tem apenas um valor de saída (output) para um valort de entrada (input).















O que é uma função?

A máquina de refrigerante é uma função porque depois de inserir os dados de entrada (sua escolha e seu dinheiro), você sabe exatamente qual é o retorno. Com a máquina caça-níqueis, por outro lado, o output é um mistério,então não é uma função.


O conjunto de todos os inputs é chamado de domínio; o conjunto de todos os outputs é é chamado de imagem.


NOTAÇÃO DE FUNÇÃO NUMÉRICA:

Com os conjuntos A={1, 4, 7} e B={1, 4, 6, 7, 8, 9, 12} criamos a função f: A —> B.definida por f(x) = x + 5 que também pode ser representada por y = x + 5. A representação, utilizando conjuntos, desta função, é:









O conjunto A é o conjunto de saída e o B é o conjunto de chegada (ignore o conjunto azul por enquanto).

Domínio é um sinônimo para conjunto de saída, ou seja, para esta função o domínio é o próprio conjunto A = {1, 4, 7}.

Como, em uma função, o conjunto de saída (domínio) deve ter todos os seus elementos relacionados (regra 2 das funções), não precisamos ter subdivisões para o domínio.

O domínio de uma função também é chamado de campo de definição ou campo de existência da função, e é representado pela letra "D".

O conjunto de chegada "B", também possui um sinônimo, é chamado de contradomínio.

Note que podemos fazer uma subdivisão dentro do contradomínio (conjunto azul da figura acima). Podemos ter elementos do contradomínio que não são relacionados com algum elemento do Domínio e outros que são. Por isso, devemos levar em consideração esta subdivisão (esta é até mais importante do que o próprio contradomínio).

Este subconjunto é chamado de conjunto imagem, e é composto por todos os elementos em que as flechas de relacionamento chegam.

O conjunto Imagem é representado por "Im", e cada ponto que a flecha chega é chamado de imagem.

*Obs.: Note que existe uma diferença entre imagem e conjunto imagem, o primeiro é um ponto em que a flecha de relacionamento toca, e o segundo é o conjunto de todos elementos que as flechas tocam.

No nosso exemplo, o domínio é D = {1, 4, 7}, o contra-domínio é = {1, 4, 6, 7, 8, 9, 12} e o conjunto imagem é Im = {6, 9, 12} e:

- a imagem do ponto x = 1 é y = 6, indicado por f(1) = 6;
- a imagem do ponto x = 4 é y = 9, indicado por f(4) = 9;
- a imagem do ponto x = 7 é y = 12, indicado por f(7) = 12.

Fonte:www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/funcoes/funcao_geral/funcoes_03_01.php

Acessar o Link "abaixo":

http://www.youtube.com/watch?v=0Sj7UFbQEVY&feature=youtu.be

Comente: O que é uma função?

Um forte abraço

Prof Renata S

quarta-feira, 7 de março de 2012

A Geometria da Cidade: 2º Ano - Ensino Médio



Podemos observar o "CONE" no alto da torre da Igreja. Essa Igreja chama atenção por sua arquitetura "simétrica" no bairro da "Consolação" na cidade de São Paulo. Para atingir essa perfeição, os cálculos são precisos, mas é claro que o CONE, não chegou no alto da Igreja por acaso: Primeiro o CONE foi "PLANIFICADO"; depois calcular o seu "VOLUME", conforme as figuras abaixo:














Pela PLANIFICAÇÃO, observamos que a base do "CONE" é uma "região circular", logo para calcular a sua área usamos uma fórmula conhecida por todos: pi multiplicado pelo Raio ao Quadrado.


Teto da nova "BIBLIOTECA DE ALEXANDRIA", Cairo, Egito... A biblioteca foi reconstruida, os arquitetos e engenheiros modernos, tentaram buscar na história antiga os padrões da velha "Biblioteca Grega", a mesma onde Euclides 300 a.C; escreveu "Os Elementos" ... Essa imagem mostra o teto na nova Biblioteca com inclinação para o Mar Mediterrâneo, tem o formato de uma grande região circular (círculo). Caso, fosse necessário revestir o teto com um material isolante, precisamos saber áre total do teto, como o teto é uma região circular, usamos a mesma fórmula da base do CONE... Área de um círculo: pi multuplicado pelo RAIO ao quadrado. Não podemos esquecer que o RAIO é a metade do diâmetro.


Com uma arquitetora moderna, esses prédios (próximos aos Shopping Morumbi) chamam a atenção pelas suas faces laterais trapezóidal (trapézios), com bases retangulares esses "Poliedros" visto a uma certa distância, dá a impressão que vão cair! Entretanto, estão seguros pois suas "PLANIFICAÇÕES" e "VOLUMES" são cálculos precisos. Agora, é importante destacar que sua faces são figuras planas, formadas por linhas retas, chamadas de "Polígonos". Logo, podemos dividir em "Triângulos"

Esse prédio, com sua pequenas janelas retangulares distribuídas de modo proporcional, em cada face desse "Poliedro" ou "Bloco Retangular" ou "Paralelepípedo" com todas as suas faces retangulares, situado no Bairro do Brooklin na cidade de São Paulo, se destaca por sua altura imponente... Sua Planificação são polígonos retangulares e seu volume medido por sua "Base e Altura".

NOME: Ponte estaiada Octavio Frias de Oliveira; CONCRETO: 58 mil metros cúbicos; COMPRIMENTO: 2 800 metros nas duas pistas, cada uma tem 1400 metros; MANUTENÇÃO: escadas fixas de aço, com patamares a cada 6 metros, dão acesso ao mastro.

Ao todo, são 144 hastes que ganham formatos inusitados, dependendo de cada ângulo e da imaginação de cada paulistano. As hastes são chamadas "estais". A tecnologia dos "estais" resultou nessa estrutura de cálculos tão complexos, elaborados pelos engenheiro Catão Ribeiro. Observamos que esses triângulos são: "congruêntes" e "semelhantes", logo existem triângulos (congruentes) e proporcionais (semelhantes), formando essa belíssima estrutura.








Ainda encontramos na nossa Grande Cidade, prédios parecidos com as latas de refrigerantes, como é o caso desse prédio próximo da "Ponte do Morumbi", com seu formato "REDONDO", não está na família dos "Poliedros", entretanto também é um "Sólido Geométrico", pois possui Volume e sua sua Planificação encontramos a Razão entre a Circunferência e o Diâmetro que tem como constante o número PI...



É de extrema importância o seu comentário, então estude e participe... Sua participação tem um peso muuuito importante.

Um Forte Abraço

Prof Renata

terça-feira, 6 de março de 2012

Teorema de Pitágoras utilizando Áreas: 3ºano - Ensino Médio.

Olá Queridos Alunos:

Vamos Começar:



Sabendo que w = pi.

Metade da Área do Círculo, logo como a área do círculo é: A Área é igual à [w*(D/2)²]. Então, a área do círculo foi dividido em duas partes iguais: [w*(D/2)²]/2. Esse metade retirou da área total do quadrado uma área equivalente (congruete) a sua metade.

Portanto, como o diâmetro é igual a medida do lado do quadrado, temos: Diâmetro é igual a, e o Raio é igual a/2, onde a área do semicírculo é metade da área do círculo total:

Área do semicírculo inscrito no Quadrado de lado a: [w*(a/2)²]/2 = [w*(a²/4)]/2 = w*(a²/8).


Área do semicírculo inscrito no Quadrado de lado b >:[w*(b/2)²]/2 = [w*(b²/4)]/2 = w*(b²/8).

Área do semicírculo inscrito no Quadrado de lado c: [w*(c/2)²]/2 = [w*(c²/4)]/2 = w*(c²/8)


"A diferenças entre as Áreas".

a²-w*(a²/8) = b²-w*(b²/8) + c²-w*(c²/8)
"Tiranto o MMC entre os Denominadores:(1,8) "

(8*a²)/8-w*(a²/8) = (8*b²)/8-w*(b²/8) + (8*c²)/8-w*(c²/8)
"Como os Denominadores são Iguais, podemos simplificar-ló":

(8*a²-w*a²) = (8*b² - w*b²) + (8*c² - w*c²)
"Colocando os fatores: a², b² e c² em evidência":

a²*(8 - w) = b²*(8 - w) + c²*(8 - w)
"Agora colocando o fator (8 - w) em evidência":

a²*(8 - w) = (8 - w)*(b²+ c²)
Para Finalizar "Simplicamos toda a igualdade por (8 - w)":

a² = b²+ c²

Portanto, pela diferenta entre "Áreas" verificamos a Relação de Pitágoras.

Por favor verifiquem os cálculos, e estudem para recuperação...

Um forte Abraço.

Profª Renata Spinelli