Conjuntos Numéricos - 1º ano - EM

"Numeração hieroglífica egípcia".


Nota: O nosso sistema de escrita numérica, também conhecida como universal, é de origem indo-arábica, ou seja, foi descoberto pelos hindus e aperfeiçoado e divulgado no Ocidente pelos árabes.

Números Indo-Arábico representados em uma reta numérica.

Definição de Conjunto:

Definimos por conjunto o agrupamento de termos com características parecidas, no caso da Matemática, os números são agrupados em conjuntos denominados numéricos. Ao longo da história da Matemática, de acordo com a necessidade de representar certas situações, o homem buscou símbolos capazes de satisfazer suas necessidades.

Os primeiros números a surgirem foram os naturais, eles tinham o objetivo de representar quantidades.

Números Naturais
N = { 0 , 1 , 2 , 3 , ... }

Com a intensificação da atividade comercial, os cálculos começaram a ser utilizados de forma intensa, novos símbolos surgiram para suprir as necessidades operatórias do momento, com isso surgiu um novo conjunto numérico: o dos números inteiros. Esse conjunto objetivava a indicação de situações de ganho e perda, com os números positivos se representava os ganhos e com os números negativos as perdas. Os números inteiros eram escritos na companhia de símbolos, os positivos recebiam o sinal de + (mais) e os negativos o sinal de – (menos).

Números Inteiros
Z = { ... , -2 , -1 , 0 , 1 , 2, ... }

Todo número natural é inteiro, isto é, N é um subconjunto de Z

O surgimento do conjunto dos números racionais se deu da necessidade de demonstrar partes de um inteiro e as divisões que obtinham resultados decimais. As dízimas periódicas também faziam parte dos números racionais.

Números Racionais

São aqueles que podem ser expressos na forma a/b, onde a e b são inteiros quaisquer, com b diferente de 0.

Q ={x/x = a/b com a e b pertencentes a Z com b diferente de 0 }

Outro conjunto muito importante é o dos irracionais, ele aborda as dízimas não periódicas, isto é, números infinitos que não formam períodos.

Números Irracionais

São aqueles que não podem ser expressos na forma a/b, com a e b inteiros e b diferente de 0.
Exemplo:

Todas as raízes não exatas fazem parte do conjunto dos números irracionais. Mas não são só elas, também estão neste conjunto o número pi (π=3,141592...), o número de Euler (e = 2,71828...), e alguns outros.

A união de todos os conjuntos numéricos originou a criação do conjunto dos números reais, responsável por representar e organizar os números em um único conjunto.

Números Reais

É a reunião do conjunto dos números irracionais com o dos racionais.
















http://www.youtube.com/watch?v=5tFrK2OFx8A Parte I - Reta Numérica (assistir)

http://www.youtube.com/watch?v=SSf3Chzbabw Parte II - Números Irracionais (assistir)


www.youtube.com/watch?v=HAkPSa4busw&feature=related - Teoria de Conjuntos - PARTE II (assistir)

www.youtube.com/watch?v=jh3CQWqOlus - Teoria de Conjunto - Parte II (assistir)

Conceitos da Geometria de "Euclides". 2º Ano - EM

"Ptolomeu uma vez perguntou a Euclides se havia um caminho mais curto, para a geometria, que o estudo de Os elementos, e Euclides lhe respondeu que não havia estrada real para a geometria".

Euclides de Alexandria.

Pouco se sabe sobre sua vida, mas pode-se dizer que morou em Alexandria e ensinou na Biblioteca na segunda metade do Século IV a. C. Sua obra mais conhecida, Os Elementos, foi escrita por volta de 320 a. C. Nessa obra Euclides apresenta o conhecimento matemático de seu tempo sob uma estrutura axiomática. Os Elementos exerceu grande influência científica e pedagógica desde a época de Euclides até o início da Idade Moderna.

São conceitos primitivos na Geometria Euclidiana:

• Ponto (indicado por letra maiúscula latina)






• Reta (indicada por letra minúscula latina)









• Plano (indicado por letra minúscula grega)

Nota: Os elementos de Euclides, são treze livros ou capítulos, dos quais os seis primeiros são sobre geometria plana elementar, os três seguintes sobre teoria dos números, o Livro X sobre incomensuráveis e os três últimos versam principalmente sobre geometria no espaço.

Euclides ao escrever seus Elementos, em 13 livros: tratava-se de material didático para o ensino de Geometria (elementar) aos iniciantes. Nenhum outro autor de livros-texto conseguiu êxito comparável a Euclides: seus Elementos são o mais antigos livros de matemática ainda em vigor nos dias de hoje, uma obra que somente perde para a Bíblia em número de edições e, para muitos, o mais influente livromatemático de todos os tempos.


Livro I. Proposição 47
O Teorema de Pitágoras
séc. XII

Agora, é com você!

Nos seis primeiros livros de Euclides, encontramos os seguintes postualdos:

1 - Traçar um reta de qualquer ponto a qualquer ponto.
2 - Prolongar uma reta finita continuamente em uma linha reta.
3 - Descrever um círculo com qualquer centro e qualquer raio.
4 - Que todos os ângulos retos são iguais.

Noções comuns:

5 - Coisas que são iguais a uma mesma coisa são também iguais entre si.
6 - Se iguais são somados a iguais, os totais são iguais.
7 - Se iguais são subtraídos de iguais, os restos são iguais.
8 - Coisas que coincidem uma com a outra são iguais uma a outra.
9 - O todo é maior que a parte.

Para Refletir: Algumas vezes uma linha é somente uma linha. Mas a mesma linha pode representar a aresta de uma pirâmide, a divisa de um campo, ou a trajetória de um corvo que voa. O conhecimento sobre uma e transferido para a outra.

Conceito de Números: Primos "Parentes": 1º Ano - EM

Núnmeros Irracionais.

A história dos números reais não é recente, eles foram surgindo ao longo de inúmeras descobertas Matemáticas, um dos primeiros irracionais está diretamente ligado ao Teorema de Pitágoras, o número √2 (raiz quadrada de dois) surge da aplicação da relação de Pitágoras no triângulo retângulo com catetos medindo 1 (uma) unidade.



Nessa época, o conhecimento permitia extrair somente a raiz de números que possuíam quadrados inteiros, por exemplo, 4 elevado ao expoente 2 = 16, portando √16 = 4 e no caso de √2 não existia um número que, elevado ao quadrado, resultasse 2.

Fatoração com os Números Primos:

Um número natural é um número primo quando ele tem exatamente dois divisores: o número um e ele mesmo.

Existem infinitos números primos, como demonstrado por Euclides por volta de 300 a.C..

A propriedade de ser um primo é chamada "primalidade", e a palavra "primo" também é utilizada como substantivo ou adjetivo. Como "dois" é o único número primo par, o termo "primo ímpar" refere-se a todo primo maior do que dois.

Se um número inteiro tem módulo maior que um e não é primo, diz-se que é composto. Por convenção, os números 0, 1 e -1 não são considerados primos nem compostos.

O CRIVO DE ERATÓSTENES

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Eratóstenes (276-194 a.C.), viveu no séc III a.C, foi diretor da famosa Biblioteca de Alexandria, e elaborou um método para a determinação de números primos, o qual é conhecido como o "Crivo de Eratóstenes".

Por exemplo, para determinar os números primos menores que 100, o primeiro passo é listar, em ordem crescente, todos os números naturais de 2 até 100.

Em seguida, retiramos todos os números maiores que 2 e múltiplos de 2 (4, 6, 8, ...), os quais não são primos, porque são números pares.

Os próximos números a serem retirados são os múltiplos de 3 maiores que 3 (9,15,21,..); os quais também não são primos, pois são divisíveis por 3.

Continuando, retiramos os múltiplos de 5 maiores que 5 e, finalmente, os múltiplos de 7 maiores que 7.

Os números que restarem são todos os números primos menores do que 100, isto é,



Note-se, que não é necessário retirar os múltiplos de 11, uma vez que que o primeiro múltiplo de 11 a ser retirado seria o número 11.11 = 121, o qual é maior que 100.

Em linhas gerais, quando utilizamos o crivo de Eratóstenes para encontrar todos os números primos menores que um número natural n, retiramos somente os números múltiplos dos primos.

Os 100 primeiros números primos positivos são:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547...

René Descartes - Geometria Analítica.

31 de março de 1596, França - 11 de fevereiro de 1650, em Estocolmo, Suécia

René Descartes, foi um filósofo cuja obra, La Géometre, inclui a aplicação da álgebra à geometria, o que originou a Geometria Cartesiana.

René Descartes deve ser considerado um gênio da Matemática, pois relacionou a Álgebra com a Geometria, o resultado desse estudo foi a criação do Plano Cartesiano.
Essa fusão resultou na Geometria Analítica.

Descartes obteve grande destaque nos ramos da Filosofia e da Física, sendo considerado peça fundamental na Revolução Científica, por várias vezes foi chamado de pai da Matemática moderna. Ele defendia que a Matemática dispunha de conhecimentos técnicos para a evolução de qualquer área de conhecimento.

Descartes foi educado no colégio Jesuíta de La Flèche, em Anjou, que frequentou dos oito aos dezesseis anos. Lá ele aprendeu lógica, filosofia aristotélica tradicional e matemática. Um fato curioso que teve início nesta época foi que, devido à sua saúde frágil, era permitido ao jovem Descartes permanecer na cama até onze horas da manhã. E ele manteve este hábito até o dia de sua morte.

Ainda na escola, René lançou as bases do trabalho de sua vida. Ele percebeu como eram pequenos os seus conhecimentos e que a matemática era a única matéria que o atraía. Essa idéia foi o fundamento do seu modo de pensar.

Em 1649, a rainha Christina da Suécia persuadiu Descartes a se mudar para Estocolmo. Como a rainha queria desenhar tangentes às cinco da manhã todos os dias, ele abandonou seu hábito de acordar tarde. Após alguns meses andando pelo palácio nas madrugadas frias da capital sueca, Descartes morreu de pneumonia.

PLANO CARTESIANO:

Criado por René Descartes, o plano cartesiano consiste em dois eixos perpendiculares, sendo o horizontal chamado de eixo das abscissas e o vertical de eixo das ordenadas. O plano cartesiano foi desenvolvido por Descartes no intuito de localizar pontos num determinado espaço. As disposições dos eixos no plano formam quatro quadrantes, mostrados na figura a seguir:



O encontro dos eixos é chamado de origem. Cada ponto do plano cartesiano é formado por um par ordenado (x , y ), onde x: abscissa e y: ordenada.

Distância entre dois pontos do plano cartesiano

1 - Relação de Pitágoras

Num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa a é igual à soma dos quadrados dos catetos b e c.











2 - Distância entre dois pontos:

Observe os pontos A e B no plano cartesiano, iremos estabelecer através de métodos algébricos uma fórmula geral para calcular a distância entre pontos,utiliza-se o Teorema de Pitágoras.













Ao analisarmos a construção acima, podemos observar o triângulo retângulo ABC, sendo que a distância entre os pontos A e B nada mais é que a hipotenusa do triângulo. Sabemos que o triângulo retângulo admite a relação de Pitágoras hip² = cat² + cat².
Ao aplicarmos Pitágoras teremos a seguinte situação:

Cateto: segmento AC (xB – xA)
Cateto: segmento BC (yB – yA)

Hipotenusa: segmento AB (distância entre os pontos)

d²AB = (xB – xA)² + (yB – yA)²






3 - Ponto Médio de um Segmento e Condição de alinhamento de três pontos

Dados os pontos A e B vamos analisar a ilustração abaixo e demonstrar o ponto médio entre eles, sugerindo uma fórmula geral para esse tipo de cálculo.



Podemos notar que no eixo x a distância entre xA:xM e xM:xB são iguais e no eixo y a distância entre yA:yM e yM:yB são iguais.













Podemos concluir que:






Exemplo 1
Os pontos possuem as seguintes coordenadas no plano cartesiano: A(4,6) e B(3,1). Calcule a distância entre esses pontos.



A distância entre A e B corresponde a √26 unidades.

Atenção: Vejam como fica "Fácil" Calcular o Valor parcial de um número "Incomensurável". Utilizando o "Quadrado Perfeito" - Produto Notável.

Estava lendo um artigo da RPM (Revista do Professor de Matemática), quando me deparei com uma nova maneira de calcular raizes quadradas, utilizando a ideia de produto notável.

Apresentamos um método "Utiliznado o Quadrado Perfeito" observe o exemplo:




Seja 4 uma primeira aproximação de QUAIZ QUADRADA DE 7. Temos

Transformando 33/8 em decimal- chegamos no valor aproximada de: 4,125, para raiz quadrada de 7.

Agora, se quisermos aproximar ainda mais, fazemos o mesmo processo. Utilizando a segunda aproximação da RAIZ QUADRADA DE 7 - 33/8...

Ficando assim...


Obtivemos assim uma terceira aproximação...

Fonte: RPM 62 - página 29.

A importância do Zero!!!!!... O Nada é Tudo!.

O Recruta Zero.

O ZERO

O sábio mais sábio do mundo foi o que descobriu o nada. Nada mesmo. Ele teve a ideia genial de que onde não há nada,nadinha mesmo,há o nada. E fez do nada um algarismo, o zero. A ciência seria impossível sem a Matemática e a Matemática mais impossível ainda sem o zero. É difícil imaginar como a humanidade pôde atravessar tantos milênios, produzindo muitos homens sábios, que não sabiam a verdadeira matemática, ou não tinham instrumentos para criar uma.

É certo que os egípcios sabiam fazer, com seus astrólogos, muitos cálculos astronômicos. Os gregos eram filósofos,que ainda nos espantam por sua inteligência. Os romanos nos legaram leis que funcionam até hoje, coordenando relações entre as pessoas.
Mais a nenhum deles ocorreu essa ideia fundamental de que onde não há nada, algo existe: o nada. Se você fizer um número que vá daqui até a Lua, ele ainda não será o maior número do mundo. Pondo mais um zero,ele se multiplica por dez, e vai por ai afora. Parece brincadeira, não é?

"Queridos alunos":

Os desafios existem, e são importântes para o nosso crescimento.

Acredito, em vocês!

Profª Renata